数論について少し語ります

初等整数論、他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。 解析的整数論、微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。代数的整数論、扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。数論（すうろん、number theory）とは数、特に整数の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。カール・フリードリヒ・ガウスがおそらくこの分野の創始者である。体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。類体論もこの分野の成果である。 その弟子であるベルンハルト・リーマンによってすでにこの分野の（ひいては数論）の最大の未解決問題であるリーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。 数論幾何学、新しい分野であり、現代的には、アレクサンドル・グロタンディークの構想に基づくとされる。代数幾何学の手法や結果を利用して、問題に取り組む。フェルマーの最終定理もこの分野の手法を利用して解かれた。ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。現在（日本でも）非常に活発に研究されている。…